The German motorized infantry regiment by United States. War Dept. Military Intelligence Service

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6 haben wir ein Gitter Λ betrachtet, das von den Vektoren (−1, 0) und (α , 1) aufgespannt wird. F¨ur alle p und q geh¨ort der Punkt p(−1, 0) + q(α , 1) = (qα − p, q) = q α − p ,q q p von α war gleich dem Abq p stand dieses Punkte von der y-Achse. Der neue G¨uteindikator, q2 α − , ist der q Betrag des Produkts aus den Koordinaten dieses Punktes. 5) liegen. ” zum Gitter; unser alter G¨uteindikator der N¨aherung Abb. 5 Gitterpunkte innerhalb des hyperbolischen Kreuzes“. 2 auf Seite 16 auf das Gitter Λ mit A−2 = (α , 1) und A−1 = (−1, 0) an.

3. (a) Beweisen Sie: Sind die Quotienten a0 , a2 , a4 , a6 , . . durch n teilbar, so gilt a0 [a0 ; a1 , a2 , . . ] a2 = ; na1 , , na3 , . . n n n (b) Beweisen Sie: Sind die Quotienten a1 , a3 , a5 , . . durch n teilbar, so gilt n[a0 ; a1 , a2 , . . ] = [na0 , a1 a3 , na2 , , . . ]. 4. Nehmen Sie an, dass α = [a0 ; a1 , a2 . . ] ein periodischer Kettenbruch ist; das heißt, dass f¨ur ein r ≥ 0 und ein d > 0 die Relation am+d = am f¨ur alle m ≥ r gilt. Beweisen Sie, dass α eine Wurzel (Nullstelle) einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist.

6. Bestimmen Sie die Kettenbruchdarstellungen von 3, 5, n2 + 1 und √ n2 − 1. 7. 3 die Kettenbruchdar√ 5 1+ 3 und . 8. ) Seien α , β reelle Zahlen. Wir sagen, dass aβ + b gilt, wobei a, b, c, d ganze Zahlen sind und α mit β verwandt ist, wenn α = cβ + d ad − bc = ±1 gilt. Beweisen Sie: Ist α mit β verwandt, so ist β mit α verwandt. Beweisen Sie außerdem: Ist α mit β verwandt und β mit γ , so ist α mit γ verwandt. 28 1 Kann eine Zahl ungef¨ahr rational sein? 9. * Seien α = [a0 ; a1 , a2 , . . ], β = [b0 ; b1 , b2 , .

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