Stochastische Systeme by Gerhard Wunsch, Helmut Schreiber

By Gerhard Wunsch, Helmut Schreiber

Dieses seit Jahren anerkannte Standardwerk stellt die Theorie zufälliger Prozesse und deren Anwendungen auf Systeme der Informationstechnik dar. Es enthält die wichtigsten Begriffe und Grundlagen zur examine stochastischer Systeme. Das Buch schließt die Lücke zwischen den mathematisch ausgerichteten Darstellungen, die spezielle Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung voraussetzen, und den Werken der technischen Literatur, in denen die angewandten Rechenmethoden meist recht knapp begründet sind oder nur sehr spezielle Anwendungen betrachtet werden.

Es wurde versucht, den allgemeinen theoretischen Rahmen, in dem sich heute jede moderne Darstellung der Stochastik bewegt, möglichst allgemeingültig und zugleich anschaulich darzustellen. Jedes Kapitel enthält Beispiele und Übungsaufgaben, deren Lösungen im letzten Kapitel zusammengefasst sind. In der four. Auflage wurde ein noch stärkeres Gewicht auf die Darstellung der Zusammenhänge von zufälligen Prozessen und dynamischen Systemen gelegt. Dabei werden sowohl zeitkontinuierliche als auch zeitdiskrete Prozesse und Systeme betrachtet.

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7 Ist X eine Zufallsgröße mit der Dichte fx, so heißt Erwartungswert von X , falls J-: 1x1f x ( z ) d z < cc Anschaulich kann der Erwartungswert als ein gewisser „zentraler Wert" angesehen werden, um den die Werte der Zufallsgröße stochastisch verteilt sind. 131) des Erwartungswertes auch auf einen zufälligen Vektor X = ( X l , . . ,X I ) übertragen lassen. In diesem Fall bezeichnet man als Erwartungswert des zufälligen Vektors. In allgemeineren Fällen können Funktionen von Zufallsgrößen X I , .

Dabei ist unwesentlich, dass sich B möglicherweise nicht explizit angeben lässt. Wesentlich ist, dass alle Ereignisse XP1(B) mit B E A(I) zu A gehören. Das ergibt sich daraus, dass gilt, wie gezeigt werden kann. h. für alle B E B gilt Px(B) = P(X-'(B)) = P({uI X(W)E B)). 66) Die hierdurch definierte Abbildung (das Wahrscheinlichkeitsmaß) heißt Verteilung der Zufallsgröße X . Die Verteilung der Zufallsgröße X gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsgröße X einen Wert X aus der Menge B E B annimmt: Px(B) = P{X E B).

105) für beliebige n besagt: Hat der zufällige Vektor X = (X1,. . ,X,) die Dichtefunktion fx, so wird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen KAPITEL 1. h. es gilt die fundamentale Formel (in Kurzform): Px(B) = fx(x) dx = P { X E B). 1 Randverteilungsfunktion Von einem zufälligen Vektor X = (Xl, X2) mit der Verteilungsfunktion Fx sind folgende Grenzwerte von besonderem Interesse: Analog hierzu erhält man Die Verteilungsfunktion Fxlheißt Randverteilungsfunlction von X1 in X = (X1,X 2 ) . Der Wert Fxl(El) gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass X1 einen Wert annimmt, der kleiner als J1 ist, unabhängig davon, welchen Wert X z annimmt.

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