Illustrierte Mathematik: Visualisierung von mathematischen by D.L. Johnson

By D.L. Johnson

Die optische Darstellung von Objekten, die durch mathematische Sachverhalte beschrieben werden, sind für Schüler und Studenten während der gesamten Ausbildungszeit ein einprägsames Hilfsmittel. Die Visualisierung komplex beschriebener Gegenstände dient nicht nur dem Verständnis abstrakter Gebilde, sondern birgt in sich auch ein ästhetisches und künstlerisches Moment.
Die Autoren stellen auf ihrer CD-ROM eine umfangreiche Sammlung von Graphiken, die unter home windows und auf Macintosh betrachtet und weiter verarbeitet werden können, zur Verfügung. Die dafür notwendige software program MathReader ist auf der CD vorhandenen.
Als weitere Komponente enthält die CD eine Vielzahl von Programmen, mit denen der Benutzer durch version von Parametern eigene Beispiele kreieren kann. Zur Arbeit mit diesen Paketen muß auf dem Rechner die software program Mathematica installiert sein.

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Example text

The standard properties of conjugation guarantee that ak is indeed an automorphism of H and that a is a homomorphism: otk&k' = &kk' Vfe, A;' € if. We shall now invert this process to obtain the desired construction. The input is a triple (H,K,a), where H and K are groups and a: K —> Aut(H), k f-> a*, is a homomorphism. 9) where /i'a* is the image of h' E H under the automorphism a*. It is a matter of routine to check the group axioms, and we denote the resulting group by KxaH. Regarding H and K as embedded in this group via the maps h *-> (1, h) and k »-> (A:, 1) respectively, it is again routine to check that if is a normal subgroup with complement K, with the action of K on H by conjugation being given by a.

Such elements are called words in X±. The extreme cases when X = 0 and X — G yield the trivial subgroup {1} and the improper subgroup G respectively. To get a more interesting example, take X to be the set C of commutators in G, that is, those elements c of G that can be written in the form c = [a,b] = a~1b~1ab, a,b€G. The subgroup (C) is called the derived group, or commutator subgroup, of G and is denoted by G'. As a final example of subgroups of this kind, take the case when the subset X of G is a singleton, say X = {x}.

We write s = s(0,a). 8) where the + sign stands for addition in Emod 2TT. It follows from this last property that the rotations with centre O form a subgroup of E, which we denote by So- The harder problem of how to compose rotations with distinct centres will be solved in Chapter 4. 3 A reflection r is a map that moves every point of the plane to its mirror-image in a fixed line. This line, / say, is called the axis of r and we write r = r(l). Thus, given P G E 2 , if P G / then Pr — P , and if P # /, Pr is the unique point of E 2 such that / is the perpendicular bisector of P and Pr.

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