Grundthema der Algebra: Lie Algebren (Wintersemester 2012) by Karin Baur

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Zum Beispiel kann man λ1 = ω1 + 2ω2 und λ2 = 4ω1 ausprobieren. ¨ Ubung. Hier geht es darum, an Beispielen zu studieren, wie sich Tensorprodukte von zwei irreduziblen Darstellungen zerlegen. (Benutze Abbildung 7). (1) Man zeichne das Gewichtsgitter von dem Tensorprodukt C3 ⊗ (C3 )∗ . Dabei u ¨berlegt man sich zuerst: die Basis eines Tensorprodukts V ⊗ W besteht GRUNDTHEMA DER ALGEBRA: LIE ALGEBREN (a) zu (1) 57 (b) zu (3) ¨ Abbildung 7. Ubung (1) und (3) aus allen v ⊗ w mit v ∈ V und w ∈ W Basisvektoren.

40 KARIN BAUR Definition. Seien α1 , . . , αl einfache Wurzeln. Die Matrix ( αi , αj )ij heisst die Cartanmatrix von Φ. Die Eintr¨age der Cartanmatrix heissen die Cartanzahlen von Φ. Beispiel. Die Cartanmatrizen der Wurzelsysteme vom Rang 2 (mit den gew¨ahlten Basen aus Abbildung 2, Kapitel 5) sind: A1 × A1 : 2 0 0 2 A2 : 2 −1 −1 2 B2 : 2 −2 −1 2 G2 : 2 −1 −3 2 Die Cartanmatrix h¨angt von der gew¨ahlten Ordnung (der einfachen Wurzeln) ab. Das ist jedoch kein Problem. 1 die Weylgruppe transitiv auf der Menge der Basen operiert.

Gewichte und maximale Vektoren. Sei V ein L-Modul. v = λ(h)v ∀ h ∈ H} (wie bereits im Kapitel 3 f¨ ur L = sl2 definiert). Definition. Sei V ein bel. L-Modul, λ ∈ H ∗ . Ist Vλ = 0, so heisst Vλ Gewichtsraum und λ ein Gewicht von (H auf ) V adj Beispiel. (1) Sei L −→ gl(L) die adjungierte Darstellung. x = α(h)x ∀ h ∈ H}) zusammen mit 0 (mit Gewichtsraum H, dim H = l). (2) L = sl2 , mit Standardbasis x, y, h. Eine lineare Funktion λ (auf H) ∈ H ∗ ist vollst¨andig bestimmt durch ihren Wert im Basisvektor h.

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