Gesammelte mathematische Werke 2 by Dedekind R.

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3! + x ∆u0 + ANSWERS 3. (i) 2 sinh F b I cosh F a + b + bxI H 2K H 2 K (ii) F H (iv) h – 2 sin x + (iii) – cosec 2x+1 F H (v) 2hx + h2 + ex(eh – 1) LM N F H (vi) log 1 + I K (vii) eax e ah log 1 + h + (e ah − 1) log bx x OP Q (viii) 4. (i) – 4 sin2 h cos (2x + 2h) (iv) + 2hx + 2h – I K 4 6 + ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) (ii) 2 sin (iii) 720 abc 8. (i) I sin F h I K H 2K h(2 x + h ) cos 2 x + 2 x 2 sin h sin (2 x + h ) cos (2 x + 2 h ) cos 2 x F H ( − 1)n n ! x ( x + 1) ( x + 2 ) ......

Given u0 = 580, u1 = 556, u2 = 520, u3 = —, u4 = 384, find u3. Solution. Let the missing term u3 = X 26 ADVANCED MATHEMATICS ∴ The forward difference table is x ux 0 580 1 556 ∆u x ∆2u x ∆ 3u x ∆ 4 ux – 24 – 12 – 36 2 X – 472 520 X – 484 1860 – 4X X – 520 3 1388 – X X 904 – 2X 384 – X 4 384 Here four values of ux are given. Therefore, we can assume ux to be a polynomial of degree 3 in x ∴ ∆ 4 ux = 0 or or 1860 – 4X = 0 X = 465. Aliter: Here four values of ux are given. Therefore, we can assume ux to be a polynomial of degree 3 in x ∴ ∆ 4 ux = 0 or (E – I)4 ux = 0 or (E4 – 4C1 E3 + 4C2E2 – 4C3 E + I) ux = 0 or E4 ux – 4E3 ux + 6E2 ux – 4Eux + ux = 0 or ux + 4h – 4ux + 3h + 6ux + 2h – 4ux + h + ux = 0 Putting x = 0 and h = 1, we get u4 – 4u3 + 6u2 – 6u1 + u0 = 0 or 384 – 4X + 6 × 520 – 6 × 556 + 580 = 0 1860 – 4X = 0 ⇒ X = 465.

2! 6) (–3) 4! 4 − 1) 2 ∆ f (1891) 2! 4 − 3) 4 ∆ f (1891) + ∆ f (1891) 3! 4! 4 × (– 5) + (2) + (–3) 2! 3! 4! 8368. 6 10 10 By Newton-Gregory backward formula, we have f (a + nh + hu) = f (a + nh) + u ∇f (a + nh) + + u(u + 1) 2 ∇ f (a + nh) 2! u(u + 1) (u + 2) 3 u(u + 1) (u + 2) (u + 3) 4 ∇ f (a + nh) + ∇ f (a + nh) + ..... 3! 4! 6 + 1) 2 ∇ f (1931) 2! 6 + 2) 3 ∇ f (1931) 3! 6 + 3) 4 ∇ f (1931) 4! 6) (– 4) + (– 1) 3! 2! 6) (– 3) 4! 8528. 6 + 1) 2 ∇ f (1931) 2! 6 + 2) 3 ∇ f (1931) 3! 6 + 3) 4 ∇ f (1931) 4!

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