Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über klassische by Dmitry Fuchs, Serge Tabachnikov, Micaela Krieger

By Dmitry Fuchs, Serge Tabachnikov, Micaela Krieger

Das Buch enthält dreißig Vorlesungen über unterschiedliche Themen, die einen Großteil der mathematischen Landschaft abdecken, anstatt sich nur auf ein Gebiet zu konzentrieren. Klar und verständlich wird der Leser auf zahlreiche Resultate geführt, die oft weder in der mathematischen Grundausbildung noch im akademischen Curriculum vorkommen. So kann der Leser Zusammenhänge zwischen klassischen und modernen Ideen aus der Algebra, der Kombinatorik, der Geometrie und der Topologie entdecken. Die Bemühungen des Lesers werden durch die Einsicht in die Harmonie jedes Themas belohnt. Die ausgewählten Themen verbindet, dass sie die Einheit und die Schönheit der Mathematik veranschaulichen. Die meisten Vorlesungen enthalten Übungen, ausgewählte Übungen werden am Ende des Buches gelöst oder beantwortet. Zu den Besonderheiten dieses Buches zählen die Fülle von Zeichnungen (es sind über vierhundert), die Illustrationen eines versierten Künstlers sind, und die rund einhundert Porträts von Mathematikern, die sich um die in den einzelnen Vorlesungen behandelten Themen verdient gemacht haben. speedy jede Vorlesung hält auch für den erfahrenen Forscher Überraschungen bereit.

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6 haben wir ein Gitter Λ betrachtet, das von den Vektoren (−1, 0) und (α , 1) aufgespannt wird. F¨ur alle p und q geh¨ort der Punkt p(−1, 0) + q(α , 1) = (qα − p, q) = q α − p ,q q p von α war gleich dem Abq p stand dieses Punkte von der y-Achse. Der neue G¨uteindikator, q2 α − , ist der q Betrag des Produkts aus den Koordinaten dieses Punktes. 5) liegen. ” zum Gitter; unser alter G¨uteindikator der N¨aherung Abb. 5 Gitterpunkte innerhalb des hyperbolischen Kreuzes“. 2 auf Seite 16 auf das Gitter Λ mit A−2 = (α , 1) und A−1 = (−1, 0) an.

3. (a) Beweisen Sie: Sind die Quotienten a0 , a2 , a4 , a6 , . . durch n teilbar, so gilt a0 [a0 ; a1 , a2 , . . ] a2 = ; na1 , , na3 , . . n n n (b) Beweisen Sie: Sind die Quotienten a1 , a3 , a5 , . . durch n teilbar, so gilt n[a0 ; a1 , a2 , . . ] = [na0 , a1 a3 , na2 , , . . ]. 4. Nehmen Sie an, dass α = [a0 ; a1 , a2 . . ] ein periodischer Kettenbruch ist; das heißt, dass f¨ur ein r ≥ 0 und ein d > 0 die Relation am+d = am f¨ur alle m ≥ r gilt. Beweisen Sie, dass α eine Wurzel (Nullstelle) einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ist.

6. Bestimmen Sie die Kettenbruchdarstellungen von 3, 5, n2 + 1 und √ n2 − 1. 7. 3 die Kettenbruchdar√ 5 1+ 3 und . 8. ) Seien α , β reelle Zahlen. Wir sagen, dass aβ + b gilt, wobei a, b, c, d ganze Zahlen sind und α mit β verwandt ist, wenn α = cβ + d ad − bc = ±1 gilt. Beweisen Sie: Ist α mit β verwandt, so ist β mit α verwandt. Beweisen Sie außerdem: Ist α mit β verwandt und β mit γ , so ist α mit γ verwandt. 28 1 Kann eine Zahl ungef¨ahr rational sein? 9. * Seien α = [a0 ; a1 , a2 , . . ], β = [b0 ; b1 , b2 , .

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