Die Suzukigruppen und ihre Geometrien: Vorlesung by Heinz Lüneburg (auth.)

By Heinz Lüneburg (auth.)

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Sei X I PQ und X ~ P,Qo Da die Zahl ~P,Q~[ gehen, folgt sofort aus der Definition auf einer zweier Tangenteno Dann einen Punkt von (To Da K verbindbar ist, folgt, sind~ Aus AnzahlgrGnden da~ folgt, da~ alle Tangenten von (~durch K geheno Sei nun n ungerade, P E CY und t die Tangente sei Q I t und Q ~ P~ Nun ist durch Q mindestens I~ -~P}[ an ~ in Po Ferner ungeradeo eine von t verschiedene Folglich geht Tangente an ~ o Da It - ~P,~I -- n ist und Q I t - (P~ beliebig war und es genau n von - t verschiedene Tangenten geht, folgt, da~ durch jeden Punkt ist, genau eine von t verschiedene qo eo d.

11) Punkte geht genau eine Gerade. 12) Es gibt drei nicht-kollineare Eine Inzidenzstruktur, die wobei die Parallelit~t als Nichtschneiden man eine affine Ebene. uu ~ u Ebene ~, (6o12) erfUllt, erklirt wird, nennt es eine und bis auf Isoso da~ ~7~fGr eine passende isomorph ist. Ferner gilt (6o14) bzw. Sind ~ und ~* ~ *, so l ~ t in genau einer Weise setzen. 10) Projektive Die Parallelit~tsrelation Ebenen. bis (6o14) finden sich S. 9-11o ist eine Aquivalenzrelation~ sen dieser Relation nennen wir ParallelenbUschelo Aus Die Klas(607) folgt nun (6o15) Ist ~ e i n e endliche affine Ebene, so gibt es eine natUr- liche Zahl n ~ 2, so da B gilt: a) Auf jeder Geraden v o n ( l l i e g e n b) Dutch jeden Punkt v o n ~ g e h e n c) Jedes ParallelenbUschel d) ~ b e s i t z t n Punkteo n + I Geraden.

8), dab auch A I und A 2 zykliseh sind. 9) vollst~Ludig bewiesen. 10~ Korollar (Suzuki). Die Sylowgruppen ungerader 0rdnun~ der Suzuki~ruppen sind zyklisch. Beweis. Sei S e i n e Sylowgruppe ungerader 0rdnung von G und I ~ s r ~B. 9) ist ist, ist ~G(S) auch S zyklisch, ~G (s) e 1T . Da also zyklisch. Nun ist S ~ ~ G (s) keine 2-Grupps ~G(S). Folglioh ist q. e. d. 11) Korollar (Suzuki). Der Zentralisator eines yon I verschie- denen Elementes einer Suzukigruppe ist nilpotent. Beweis. Dies ist sicherlich richtig fGr die reellen ~lemente von G.

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