Algebra: LATEX-Bearbeitung von Ole Riedlin by Ina Kersten

By Ina Kersten

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Aufgabe 24. Man zeige, dass jede Gruppe der Ordnung 441 aufl¨osbar ist. Aufgabe 25. Man zeige, dass jede Gruppe der Ordnung 500 aufl¨osbar ist. Aufgabe 26. Man zeige, dass jede Gruppe der Ordnung 588 einen abelschen Normalteiler = {e} besitzt. Algebra, Universit¨ at G¨ ottingen 2006/2007 5 Exkurs u ¨ ber Permutationsgruppen 5 49 Exkurs u ¨ ber Permutationsgruppen Lernziel. 1 Symmetrische Gruppe Sn Sei M eine nichtleere Menge. Dann bildet die Menge S(M ) := {π : M → M | π bijektiv} aller bijektiven Abbildungen M → M bez¨ uglich Hintereinanderausf¨ uhrung von Abbildungen eine Gruppe mit der Identit¨at id : M → M, x → x , als neutrales Element.

2. 3 hat Z(G) eine Untergruppe N mit |N | = p . Es gilt N G f¨ ur jede Untergruppe G von G, die N enth¨alt, denn wegen N ⊂ Z(G) gilt gxg −1 = x f¨ ur alle x ∈ N und g ∈ G , und also ist die Normalteilerbedingung gN g −1 ⊂ N f¨ ur alle g ∈ G erf¨ ullt. Die Faktorgruppe G/N hat nach der Abz¨ahlformel die Ordnung |G/N | = |G| pr = = pr−1 . 4 Zyklische Gruppen 37 Nach Induktionsvoraussetzung hat G/N einen Normalteiler M der Ordnung pr−2 . Sei π : G → G/N , g → gN , der kanonische Homomorphismus, und sei M = π −1 M := {g ∈ G | π(g) ∈ M }.

Seien G eine endliche Gruppe, H eine p-Sylowgruppe in G und U eine Untergruppe von G der Ordnung ps mit s 0 . Dann gibt es g ∈ G so, dass U ⊂ gHg −1 gilt. Beweis. Sei M = {gH | g ∈ G} die Menge der Linksnebenklassen von H . 7. Die Gruppe U operiert auf M durch U × M → M , (u, gH) → u gH . Da M die disjunkte Vereinigung von Bahnen ist (vgl. 21), folgt |B| . p m= B Bahn Also gibt es eine Bahn B0 := U g0 H := {u g0 H | u ∈ U } mit einem g0 ∈ G , f¨ ur die p |B0 | gilt. 2 |B0 | · |Stab(g0 H)| = |U | = ps , so dass |B0 | = 1 gelten muss wegen p |B0 |.

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